多重积分考研?
首先,明确一点概念。“重积分”和“复变函数”没有必然的联系;“重积分”属于数学分析的范畴,而“复变函数”属于复变函数的范畴。所以这个问题可以转化为“复变函数如何计算多重积分”。 接下来简单介绍一下计算重积分的方法(当然还需要一些具体公式) 首先要介绍两个重要的积分定理:
1、牛顿-莱布尼兹公式:如果 \[f(x)\]在区间 \[a,b\]上可积且有限,则 \[\int_{a}^{b} f(x) dx=F(\omega )+G(ω’)\]其中, F(ω)是函数 \[f(x)\] 的傅里叶变换; G(ω’)是函数 \[g(x)\] 的傅里叶逆变换。
2、沃尔夫斯肯公式 如果 \[f(x)\] 在闭区域 \[\mathrm{C}\] 上二重可积,则 \[\iint_{\mathrm{C}} f(x) dxdy=U(\mu )+V(\nu )\]其中 U 和 V 分别是 \[f(x)\] 和 \[g(x)\] 的勒让德变换。
有了上面的公式,计算重积分就转化为计算傅里叶变换或勒让德变换。 而计算傅里叶变换或勒让德变又可以通过计算机编程来实现。 现在来说说题主的问题,对于 “重积分的计算方法是否普遍适用于复变函数?” 答案是肯定的。以牛顿-莱布尼兹公式为例,假设被积函数满足在定义域内有限,则可将其傅里叶变换后带入上述公式即可得到答案。而对于沃尔夫斯肯公式,同样可以先将两个函数进行傅里叶变换求出 U 和 V 再代入公式。